混沌（chaos）是经过整个20世纪才确立下来的一种复杂运动形式，其影响最大的岁月是80年代到90年代，虽然在这一百年之前和之后人们也研究混沌。从科学传播的意义上讲，混沌是得到媒介格外青睐的话题，《自然》、《科学美国人》、《新科学家》、《纽约时报》都多次对混沌热潮进行过报道，这多少借了“混沌”这个语词的独特魅力。
然而，剔除浮华、夸张部分，混沌在科学上依然是十分重要的，正如周期、不动点是十分重要的。回顾历史，混沌研究隶属于非线性动力学。但当初，它的起源涉及多种自然科学，如天体力学、普通力学、电子工程学、生态学、气象学等，当然也包括数学。换种表述，即使混沌不取这样的名字，比如可以叫“回复性非周期运动”，它仍然具有十足的魅力，照样会让科学工作者激动不已。
图1 耗散系统（能量不守恒的有摩擦的系统）中的混沌
图1 洛仑兹微分方程系统中出现的混沌运动。1963年美国气象学家洛仑兹在《大气科学杂志》上发表"确定性非周期流"一文，给出第一个耗散混沌的实例。左为洛仑兹方程组数值解在XOZ平面上的投 影，右为数值解在YOZ平面上的投影。在计算机屏幕上演示数值解，只要不人为干预，轨道会永远运 动下去。本图为刘华杰用龙格-库塔法计算。
从目前取得的成就看，混沌首先是数学上的新发现，而非自然科学的新发现。这种表述的的根据是，混沌是数学模型中存在的一种理想化的运动形式。这是大批杰出数学家多年的工作严格证明了的 事实。最出名的数学家包括庞加莱、伯克霍夫、莫尔斯、莱文松、斯美尔、阿诺德、莫泽等。要讲述 他们的经历，就得把20世纪数学史的相当一部分内容认真描述一番。从数学角度看，混沌是继不动点（平衡点、均衡点）、周期循环（极限环、周期运动）、拟周期运动（准周期运动）之后，另外一种新型的运动类型。能够作为一种独特的类型确立下来，混沌当然是重要的。部分学者讨厌学界和媒体借“混沌”一词的神话、象征、隐喻含义兜售似是而非的杂拌学问，不愿意使用chaos这个词，他们宁愿 使用“回复性非周期运动”这样的长词组。但去掉用词的因素，数学家都同意，经过多年的努力确立了一种新的运动类型，是不小的进步。这说的便是，混沌理论首先是一种数学理论。理论有大有小，统摄的范围也不同，在数学界，混沌理论属于动力系统理论的一个前沿部分。
混沌存在吗？这一发问也是有根据的，因为混沌是非周期运动，或者说其周期无穷大，它总是与无穷过程联系在一起，在有穷的物理过程中人们如何识别出混沌，它与大的周期运动如何区分等等。如果不能有效回答这些问题，混沌的价值也要打折扣。但是实际上我们能够答复这些疑问。首先，只 要物理现象与数学定义所描述的情形足够相似，人们就可以把实际物理世界中出现的现象视为混沌，这与其他领域的做法完全一致。这好比问：2的平方根是否存在？严格说现实世界不存在2的平方根这样的对象，但换种角度，2的平方根可以描述现实世界中的许多现象，于是也可以说现实世界存在这样 的无理数。特别地，我们能够用有理数不断地逼进无理数，而且可以逼进到任何想要的接近程度。其次，在有限时间和空间范围内，混沌运动因为对初始条件具有敏感依赖性，它的李亚普诺夫指数有一 个必为正值，通过计算，能够区分混沌与非混沌。当然，还有其它一些定性和定量判据，如拓朴熵和功率谱等。
混沌理论在自然科学和工程技术中也有用，为什么不直接说它是一般的自然科学（物理科学、生 物科学）理论呢？实际上，在简化的意义上也可以这样称呼，但严格说来还不能这样称呼。我们知道，牛顿三定律、电磁定律、氧化理论、化学原子论、进化论、相对论、量子力学等是标准的自然科学理 论，因为它们都涉及外部世界，对“实在”有所断言，刻划了实在的某些特征。或者说，它们是关于 外部世界性质的理论。虽然任何科学理论也都是一种模型，是对实在的抽象描述，但上述理论的确直 接涉及外部客观世界本身的情况，它们与数学理论有着根本的不同。
图2 保守系统（能量守恒的无摩擦系统）中的混沌
图2 标准映射展示的保守系统混沌运动。相空间中有多级椭圆点和双曲点，在椭圆点附近有周期小岛，小岛中又有复杂结构，层层嵌套。需用KAM理论才能把标准映射中出现的复杂行为解释清楚。左上图为参数取0.8时, 右上图为参数取1.5时, 下图为参数取1.0时的情况。随着参数的增加（相当对非 线性增强），混沌区越来越大。在这里，混沌区与规则区交织在一起，相互渗透，本图为刘华杰用PC机绘制。
我们不谈数学的起源，就现有的数学而论，它们本身是自足的，自成体系，数学体系中不讨论外部物理、生物世界，也不断言外部世界的任何属性。2+7=9式子中，2和7等可代表任何东西，数字本身就是一种高度抽象。数学探索数量、空间的关系和结构。数学非常有用，可用于任何领域，除了传统的自然科学外，还包括人文社会科学和哲学。在动力系统理论中，你找不到任何外部世界的对象、 实体，虽然它原则上可以描述任何外部对象、实体。
那么，数学家证明存在着混沌，而且大量存在着，这意味着什么？这里面就有一些科学哲学需要 讲清楚，因为这涉及模型与实在的关系、实在论与反实论的讨论。简单讲，混沌是一个理想化的数学 名词，在数学上它有严格的内涵，在现实世界中不可能找到严格的对应物。这并不奇怪，对所有数学 概念都是如此。不动点和周期也一样。现实世界找不到严格的不动点和周期。所有的钟表都有误差 都达不到数学上对周期的严格定义的要求。于是，现实中找不到严格的混沌，与现实中找不到严格的 不动点和周期，是一回事，这一切并不奇特。奇特的是，理想化的数学概念能够描述大量现实发生的 事物和过程。我们能够方便地在现实世界找到不动点、周期和混沌类似物，而它们就可以用数学理论 来描述。自然科学中的物理模型已经有了抽象，但数学模型是更彻底的抽象，抽象到在其中没有物质的影子。
混沌稳定吗？或者混沌不稳定吗？这是较复杂的问题。粗略地讲，混沌既稳定又不稳定。完全稳 定不是混沌，完全不稳定也不是混沌。完整阐述混沌与稳定性的关系，将涉及李亚普诺夫运动稳定性 和庞特里亚金结构稳定性，这已经起出本文的范围。不过，从图1和图2中可以直观地看出，混沌并 非杂乱无章，也并非完全不稳定。 |
dabindabinda 
你真不愧是灌水小王。
